Шкільна математична олімпіада
5 клас
1. Знайдіть найменше натуральне число, яке закінчується на 12, ділиться на 12 і має суму цифр, що дорівнює 12. Відповідь поясніть.
2. Розшифруйте
       у д а р
    + у д а р
    д р а к а
3. В кімнаті стояли стільці (з чотирма ніжками) і табурети (з трьома ніжками). Коли на кожен стілець і на кожен табурет сіли по одному учню, то загальне число «ніг» склало 39. Скільки стільців і скільки табуретів стояло в кімнаті?.
4. У Аліси живе крокозябра. Кожного дня вона з’їдає бананів рівно вдвічі більше за свою вагу, а кожної ночі худне втричі. Їдучи на чотириденні канікули, Аліса залишила їй 40 кг бананів, і цього крокозябрі вистачило точно. Скільки важила крокозябра до від’їзду Аліси?
5. 7 осликів за 3 дня з’їдають 21 мішок корму. Скільки корму потрібно 5 осликам на 5 днів?
6. Рома на кожній перерві з’їдав більше цукерок, ніж на попередній, і за всі 5 перерв з’їв 31 цукерку. Скільки цукерок він міг з’їсти на четвертій перерві, якщо на першій він з'їв у 3 рази менше, ніж на п’ятій? Відповідь поясніть.
7. Кожен з членів журі запропонував для олімпіади однакову кількість задач. Усі запропоновані задачі виявилися різними. З них склали загальний список, з якого кожен член журі викреслив по 4 задачі (жодну з задач не викреслювали двічі). У результаті в списку залишилося 5 задач. Скільки всього було членів журі? Відповідь поясніть.

6 клас
    Дві речі мали однакову ціну. Вартість першої речі спочатку знизили на 10%, а потім збільшили на 10%. Вартість другої речі навпаки – спочатку збільшили на 10%, а потім зменшили на 10%. Яка річ стала дорожчою?
    На дошці написане число *****7*. Михайлик і Віталій по черзі витирають будь-яку зірочку і на її місце записують деяку цифру. Якщо отримане число ділиться на чотири, то перемагає Віталій. Чи зможе він перемогти, якщо починає гру?
    У країні 30 міст, кожні два з яких з’єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?
    Знайдіть швидкість і довжину поїзда, якщо він проходить уздовж платформи завдовжки 378 метрів за 25 секунд, а повз нерухомого пасажира – за 7 секунд?
    Дідусь з трьома онуками вийшов погуляти в парк. Знайомий дідуся, що зустрівся з ними, спитав скільки років кожному з них. Іванко сказав: «Я молодший Петрика і мені більше 5 років». Петрик промовив : «Я молодший Сашка на 3 роки». А Сашко сказав: «Нам всім разом втроє менше, ніж дідусеві, а разом з дідусем нам рівно 100 років». Скільки років кожному з онуків?
    Складіть із цифр 1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8, 9 (кожну цифру можна використовувати лише один раз) три трицифрові числа так, щоб сума двох чисел дорівнювала третьому, і при цьому в одного з цих чисел цифра десятків була рівною 8. Достатньо навести приклад.
    Обчисліть значення виразу:
36/(5∙7)-1/(5∙6∙7)-1/(6∙7∙8)-1/(6∙8)

7 клас
1. У школі відбулися три олімпіади. З'ясувалося, що в кожній з них бра¬ли участь по 50 школярів. При цьому 60 учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів - рівно на дві. Скільки учнів брали участь в усіх трьох олімпіадах?
2. Одну зі сторін прямокутника збільшили на 30 %, а другу зменшили на 30 %. Як і на скільки відсотків змінилась площа прямокутника?
3. Сім'я складається з трьох осіб: батька, матері й сина. На сьогодні су¬ма їхніх років складає 74 роки, а 10 років тому ця сума становила 47 років. Скільки зараз років батькові, якщо він старший за сина на 28 років.
4. Довести, що будь-яке тризначне число, записане однаковими цифра¬ми, ділиться на 37.
5. У ящику 25 кг цвяхів. Як за допомогою шалькових терезів і однієї гирі в 1 кг за два зважування відміряти 19 кг цвяхів.
6. До Дмитра на день народження прийшло декілька гостей. На столі стояла велика ваза з цукерками. Один з гостей підійшов до вази, про себе поділив цукерки на всіх порівну (включаючи Дмитра), взяв свою долю і ще одну цукерку. Другий гість, підійшовши до вази, також про себе поділив цукерки, що залишилися на всіх присутніх, взяв свою долю і ще дві цукерки. Аналогічно зробив третій гість (взявши додатково три цукерки), і так далі. Останнім до вази підійшов Дмитро і побачив її порожньою. Доведіть, що всі гості отримали цукерок порівну.
7. Чи можна на ребрах куба розташувати числа від 1 до 12 (по одному числі на кожному ребрі) так, щоб сума чисел на трьох ребрах, що виходять з однієї вершини, була однією і тією ж для кожної вершини куба?

8 клас
1. Знайдіть найменше натуральне число, яке закінчується на 16, ділиться націло на 16 і має суму цифр, що дорівнює 16. Відповідь поясніть.
2. На катеті AC прямокутного трикутника ABC відмітили точки M і F (точка M належить відрізку AF ), а на катеті BC – точки N і Q так, що MN||AB, FQ||AB, MN=AM, FQ=QN. Знайдіть величину кута ANF. Відповідь поясніть.
3. Натуральне число n називають гарним, якщо число n2+1 ділиться націло на 2011. Доведіть, що серед чисел 1, 2, 3, …, 2010 парна кількість гарних чисел. Відповідь поясніть.
4. Дано кут 190. Як побудувати кут 10.
5. У кожній клітинці клітчатої дошки 7*11 сидить жук. У певний момент усі жуки переповзають в одну із сусідніх клітинок, що мають з ними спільну сторону. Доведіть, що після цього якась клітинка буде порожньою.
6. Є три купи камінців: у першій – 10, у другій – 15, в третій – 20. За один хід дозволяється розбити будь-яку купу на дві менші. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців може забезпечити собі виграш?
7. Доведіть, що число 3n+2-2n+2+3n-2n ділиться на 10 при всіх n є N.


9 клас
1. При яких натуральних п дріб  є скоротним?
2. Доведіть, що коли добуток довільних  додатних чисел   дорівнює 1, то  
3. АD та ВЕ – бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника АВС (D належить ВС, Е належить АС). Із D та Е проведені перпендикуляри DМ та ЕN до АВ. Знайти кут NСМ.
4. Корінь з числа 49 можно добути за такою "формулою":    Чи існують інші двоцифрові числа, квадратні корені з яких добуваються аналогічно та є цілими? Укажіть всі такі двоцифрові числа.
5. Знайдіть найменше натуральне число, яке при діленні на 2 дає остачу 1, на 3 – остачу 2, на 4 – остачу 3, на 5 – остачу 4, на 6 – остачу 5, на 7 – остачу 6.
6. Побудуйте графік функції  .
7. Довести, що число   ціле.